Канаков О.И. Учебные материалы

1. Введение  [другой аудиокодек]

1. Обобщённо-потенциальные системы  [другой аудиокодек]

Примечание. На 7:00 – 7:30 я говорю о взаимно-однозначном соответствии между описанием электромагнитного поля на языке векторов E и B с одной стороны, и на языке скалярного и векторного потенциалов — с другой. На самом деле соответствие не является взаимно-однозначным: векторы E и B выражаются через потенциалы однозначно, но потенциалы, разумеется, НЕ определены однозначно при заданных E и B. По крайней мере, к скалярному потенциалу всегда можно добавить константу (о чём, надеюсь, все помнят), что является частным случаем более общего «калибровочного преобразования» потенциалов, которое будет рассмотрено в курсе электродинамики.

2. Малые колебания. Часть 1  [другой аудиокодек]

Примечание. Когда говорю «собственные колебания», везде в этой лекции имею в виду свободные колебания.

3. Малые колебания. Часть 2  [другой аудиокодек]

Примечание. На 31:30 говорю, что разложение функциии потенциальной энергии по степеням отклонения от положения равновесия мы записывали ранее. Имею в виду при этом материал практического занятия «Малые колебания в системах с 1 степенью свободы (теоретическая часть)».

4. Малые колебания. Часть 3  [другой аудиокодек]

5. Малые колебания. Части 4-5: Уравнения движения и их общее решение. Нормальные колебания  [другой аудиокодек]

ВНИМАНИЕ! Часть 5 «Нормальные колебания» темы «Малые колебания» добавлена к ранее опубликованной Части 4 «Уравнения движения и их общее решение» из-за большого количества смысловых связей между разделами и большого объёма повторного использования материала, в результате чего обе части объединены в один ролик. Собственно часть 5 «Нормальные колебания» внутри ролика начинается с отметки 72:20. Чтобы сократить размер аудиофайла объединённого ролика, битрейт в нём сокращён с обычных 32 кбит/с до 24 кбит/с, что привело к снижению качества звука, особенно заметному в кодеке MP3 (ссылка [другой аудиокодек]). Часть 4 в прежнем виде (32 кбит/с) доступна по ссылке 1 (звук в AAC) и ссылке 2 (звук в MP3).

Примечание. На 116:40 говорю о системе уравнений, что её можно «решить относительно неизвестных η относительно ξ», имея в виду «решить относительно неизвестных η, выразив их тем самым через ξ».

6. Гамильтонов формализм  [другой аудиокодек]

Примечание. На 26:30 говорю «рассмотрим функцию Гамильтона материальной точки», имею в виду конечно «рассмотрим функцию Лагранжа» (а функцию Гамильтона мы хотим найти). На 30:45, описывая выражение для скорости, говорю «в числителе было p²/2m», то есть забегаю вперёд, потому что тут должно быть просто p/m (а p²/2m — это уже в функции Гамильтона).

7. Скобки Пуассона  [другой аудиокодек]

1. Движение консервативных потенциальных систем с одной степенью свободы  [другой аудиокодек]

Домашнее задание. Построить фазовые портреты систем с 1 степенью свободы, описываемых заданным выражением потенциальной энергии:

a) U(x) = x² − ax⁴ (a > 0)

б) U(r) = −a/r + b/r² (a > 0, b > 0)

в) U(x) = e^−2ax − 2e^−ax (a > 0)

2. Составление функции Лагранжа потенциальных систем  [другой аудиокодек]

1. Малые колебания в системах с 1 степенью свободы (теоретическая часть)  [другой аудиокодек]

Примечание. На 9:55 – 10:15 ошибочно говорю, что если вторая производная потенциала НЕ равна нулю, то нельзя отбрасывать из степенного ряда слагаемое 3-й степени и последующие. На самом деле, конечно, из этой фразы надо убрать «НЕ»: если вторая производная РАВНА нулю, то нельзя отбрасывать 3-ю.

Примечание. На 17:30 ошибочно говорю, что φ₂=π/2−φ₁; должно быть, конечно, φ₂=π−φ₁. На 37:50 ошибочно рисую состояние равновесия типа «центр» в начале координат; на 46:30 замечаю и комментирую эту оплошность.

Примечание (шутка, хотя и правда). При настройке аудиоаппаратуры важно проверить качество воспроизведения шипящих звуков в речи. Традиционно для этого в микрофон произносят слово «cосисочная». Именно поэтому в начале записи оказалась фраза «CОСИСОЧНАЯ РАЗ ДВА ТРИ» — я так всегда делаю, но обычно сразу удаляю этот фрагмент после прослушивания, до начала записи ролика, а в этот раз забыл.

По делу: 1. На 14:55 говорю «ряд Фурье» — это просто оговорка, везде речь идёт о степенном разложении. 2. На 31:45 упоминаю вторую производную ∂²U / ∂φ₁ ∂φ₂, хотя речь идёт конечно о всей матрице k_ij = ∂²U / ∂φ_i ∂φ_j целиком (а где-то далее по тексту вроде была и обратная оговорка — надеюсь, все разберутся, где говорится о матрице, а где об одном её элементе).

4-5. Малые колебания с несколькими степенями свободы: Уравнения движения и их общее решение. Нормальные колебания  [другой аудиокодек]

Заключительный комментарий по теме «Нормальные колебания»  [другой аудиокодек]

ВНИМАНИЕ! Часть 5 «Нормальные колебания» темы «Малые колебания» добавлена к ранее опубликованной Части 4 «Уравнения движения и их общее решение» из-за большого количества смысловых связей между разделами и большого объёма повторного использования материала, в результате чего обе части объединены в один ролик. Собственно часть 5 «Нормальные колебания» внутри ролика начинается с отметки 45:13. Часть 4 в прежнем виде доступна по ссылке 1 (звук в AAC) и ссылке 2 (звук в MP3). По ссылке под заголовком «Заключительный комментарий...» находится короткий (около 2 минут) заключительный фрагмент занятия, который пришлось записать отдельно из-за ограничения на объём аудиофайла.

Примечания. На 3:10 забыл поставить знак второй производной над ξ_1,2 там, где она должна быть, о чём только что перед этим сам говорил. Но быстро это заметил, в итоге формулы написаны правильно. На 39:30 – 40:10 записываю начальные условия для домашнего задания, а уже на 40:20 эта надпись пропадает из-за технического сбоя, поэтому рекомендую этот фрагмент сразу переписать на бумагу. На 102:50 говою о «взаимодействии между осцилляторами», хотя правильнее было бы сказать «взаимодействие между степенями свободы», поскольку степень свободы η₁ в этой задаче, как мы показали, не является осциллятором.

1. Режимы сильного и слабого сигнала  [другой аудиокодек]

Примечание. 1. На 34:20 – 34:30 путаю седло с узлом, надеюсь все разберутся, где что на самом деле. 2. На 42:55 – 43:00 говорю, что срыв синхронизации (провал на огибающей) связан с попаданием в окрестность исчезнувшего седлоузла. На самом деле всё наоборот: в окрестности бывшего седлоузла имеет место квазисинхронизация, а провал связан с быстрым прохождением по оставшейся части предельного цикла (вне этой окрестности). Впрочем, об этом я тоже говорю в лекции неоднократно, так что опять же надеюсь, что никого не запутал.

2. Системы частотной автоподстройки. Часть 1  [другой аудиокодек]

3. Системы частотной автоподстройки. Часть 2  [другой аудиокодек]

Примечание. 1. На 26:30 говорю, что график γ₂(b) лежит выше, чем γ₁(b), хотя сам только что сказал, что γ₁ > γ₂ (рисую в итоге верно). 2. На 45:20 букву Ω ошибочно называю «гамма».

4. Системы фазовой автоподстройки частоты  [другой аудиокодек]

Примечание. На 4:30 и 6:10 (дважды!) произношу выражение ωt как «омега на частоту» (переклинило; надеюсь, никого не запутал). На 17:25 говорю «синус разности на синус суммы», имея в виду при этом «синус разности плюс синус суммы» (пишу в итоге правильно).

1. Дискретный бризер как периодическая орбита. Об отображении Пуанкаре и отыскании периодических орбит в консервативных системах  [другой аудиокодек]

Примечание. Рисовать что-то на «доске» начинаю только с момента 33:20, а до этого только рассказываю. Так что не удивляйтесь, что первые полчаса ничего не рисуется. На 33:55 говорю «возвращается обратно на траекторию», имею в виду «возвращается обратно на секущую».

2. Параметризация задачи отыскания периодической орбиты (неподвижной точки отображения Пуанкаре)  [другой аудиокодек]

3. О решении переопределённой системы при поиске неподвижной точки отображения Пуанкаре на подмногообразии сокращённой размерности внутри секущей Пуанкаре  [другой аудиокодек]

Литература.

Неявная функция // Математическая энциклопедия. Том 3. / Глав. ред. Виноградов И.М. — М.: Советская энциклопедия, 1982. — С. 1032.

4. О непрерывной продолжимости бризерного решения из антиконтинуального предела. Достаточное условие существования ДБ  [другой аудиокодек]

1. Гармоническая волна как решение дискретного нелинейного уравнения Шрёдингера (ДНУШ)  [другой аудиокодек]

Примечание. В конце предыдущей (очной) лекции был перепутан знак перед нелинейным слагаемым в ДНУШ; теперь уравнение записано верно. На 15:15 говорю "несмотря на то, что уравнение линейное...", имея ввиду обратное: "несмотря на то, что уравнение НЕлинейное...". На 29:20 называю показатель экспоненты знаменателем.

2. Линеаризация дискретного нелинейного уравнения Шрёдингера (ДНУШ) в окрестности гармонической волны  [другой аудиокодек]

3. Метод линейного анализа на устойчивость состояния равновесия в системе ОДУ с комплексными переменными  [другой аудиокодек]

4. Отыскание характеристических корней линеаризованной системы  [другой аудиокодек]

5. Условие модуляционной неустойчивости, пространственный масштаб, скорость распространения пакетов. Сценарий формирования дискретных бризеров  [другой аудиокодек]

1. Учебно-методическое пособие (pdf 311,6 кб)

2. Программное обеспечение (zip 16,1 Мб)

Указания по применению — в методичке (см. пункт 1 выше).

Содержимое архива:

1. Фазовая плоскость (квазигармонические автоколебания)  [другой аудиокодек]

Примечание. Можно смотреть с отметки 17:20, до этого момента идёт необязательное введение. На 14:20 говорю «пьезокерамический кварц», смешивая в кучу пьезокерамику и пьезокварц (надо было выбрать из этого что-то одно). На 16:40 не вполне точно назвал механические колебания догалилеевских часов релаксационными (то есть разрывными); вернее было бы охарактеризовать их как систему «со склеенным фазовым пространством»; это, однако, непринципиально: важно здесь то, что они не являются квазигармоническими. Использование же именно квазигармонических колебательных систем для измерения времени по-видимому является изобретением Галилея, и практикуется до сих пор в часах различных типов, вплоть до атомных (а применение различных осцилляторов — от механического маятника до внутриатомных колебаний — имеет целью, по большому счёту, повышение добротности осциллятора, то есть максимальное приближение его к гармоническому). На 17:00, когда говорю об использовании негармонических колебаний в механическом будильнике, имею в виду только звонок будильника; часовой механизм современного механического будильника, конечно, основан на маятнике (в отличие от догалилеевских часов). На 20:25, говоря о «храповом механизме», подразумеваю анкерный механизм.

Методические материалы размещены на сайте кафедры, в разделе «Образование»:

• Методичка «Фазовая плоскость лампового генератора»  (прямая ссылка для скачивания)

• Дополнительный материал: Методические указания к лабораторному практикуму «Метод Ван дер-Поля»  (прямая ссылка для скачивания)

Вопросы к допуску

1. Вы видите экран осциллографа и можете крутить регулятор обратной связи. Как определить, работает ли генератор в мягком или жёстком режиме возбуждения?
2. Система находится в жёстком режиме, начальное значение обратной связи -- между двумя бифуркационными значениями. Теперь мы увеличиваем обратную связь. Как изменяется радиус неустойчивого предельного цикла? Каким образом он исчезает?
3. Система находится в жёстком режиме, начальное значение обратной связи -- между двумя бифуркационными значениями. Теперь мы уменьшаем обратную связь. Как изменяется радиус неустойчивого предельного цикла? Каким образом он исчезает?
4. Система находится в жёстком режиме, начальное значение обратной связи -- меньше обоих бифуркационных значений, прерыватель выключен. Что видим на осциллографе? Теперь мы увеличиваем обратную связь, так что её значение оказывается между двумя бифуркационными значениями. Что теперь видим на осциллографе? Каким образом на фазовой плоскости появляется устойчивый предельный цикл? Заметим ли мы на осциллографе его появление?
5. Система находится в жёстком режиме, начальное значение обратной связи -- больше обоих бифуркационных значений, прерыватель выключен. Что видим на осциллографе? Теперь мы уменьшаем обратную связь, так что её значение оказывается между двумя бифуркационными значениями. Что теперь видим на осциллографе? Каким образом на фазовой плоскости появляется неустойчивый предельный цикл? Заметим ли мы на осциллографе его появление?
6. Система находится в жёстком режиме, начальное значение обратной связи -- между двумя бифуркационными значениями, прерыватель ВКЛЮЧЁН, мы можем крутить регулятор начальных условий. Как определить радиус неустойчивого предельного цикла?
7. Система находится в жёстком режиме, начальное значение обратной связи -- меньше обоих бифуркационных значений, прерыватель выключен. Что видим на осциллографе? Теперь мы увеличиваем обратную связь, пока не возникнут автоколебания. В результате какой бифуркации возникли автоколебания (как изменяется фазовый портрет при этой бифуркации)?
8. Система находится в жёстком режиме, начальное значение обратной связи -- больше обоих бифуркационных значений, прерыватель выключен. Что видим на осциллографе? Теперь мы уменьшаем обратную связь, пока не пропадут автоколебания. В результате какой бифуркации пропали автоколебания (как изменяется фазовый портрет при этой бифуркации)?
9. Система находится в жёстком режиме, значение обратной связи -- между двумя бифуркационными значениями. Сколько имеется на фазовой плоскости состояний равновесия и предельных циклов, сколько из них устойчивых и неустойчивых?

К оформлению отчёта

1. В выводах указать различия мягкого и жёсткого режимов, по которым эти режимы распознавались в работе.
2. Для бифуркационных диаграмм мягкого режима и жёсткого режима в зависимости от величины параметра обратной связи, отметить на графиках, имеются ли на фазовой плоскости устойчивые или неустойчивые состояния равновесия и предельные циклы (например: "неуст. СР, уст. ПЦ", "уст. СР, ПЦ нет" и т.д.). Описать таким способом все различные случаи, которые могут реализоваться для каждой бифуркационной диаграммы. Для каждого случая указать значение или область значений параметра обратной связи, при которых этот случай реализуется.
3. Указать, на каком из указанных объектов в фазовом пространстве находится система при изменении параметра обратной связи (при повороте регулятора) в процессе построения бифуркационных диаграмм в ходе выполнения работы. Для жёсткого режима отдельно рассмотреть случаи увеличения параметра от минимума до максимума и уменьшения от максимума до минимума. Можно отметить в таблицах результатов или на графиках бифуркационных диаграмм.
4. Указать, с какой бифуркацией связано возникновение и исчезновение автоколебаний при изменении параметра обратной связи в мягком и в жёстком режимах, и как при этом изменяется фазовый портрет (меняется ли устойчивость состояния равновесия, изменяются ли размеры предельных циклов, что с чем сливается, что появляется или исчезает, и т.п.).

2. Многозвенные LC-фильтры

Методичка «Многозвенные LC-фильтры» размещена на сайте кафедры, в разделе «Образование»  (прямая ссылка для скачивания)

Задания к допуску (выполняются последовательно, следующие задания опираются на результаты предыдущих)

1. Для чего предназначены (какое преобразование сигнала выполняют) исследуемые фильтры (нижних и верхних частот, полосовой)? Что такое амплитудно-частотные (АЧХ) и фазочастотные (ФЧХ) характеристики фильтров? Качественно изобразите ожидаемый вид АЧХ для всех исследуемых фильтров (ФНЧ, ФВЧ, полосовой), исходя из назначения фильтров.

   Описать методику измерения ФЧХ по фигурам Лиссажу, применяемую при выполнении работы. Изобразить последовательность фигур Лиссажу, получаемых при подаче на горизонтальный и вертикальный каналы осциллографа, соответственно, сигналов с входа и выхода исследуемой схемы, если разность фаз между входом и выходом принимает значения 0, π/2, π, 3π/2, 2π и т.д.

2. Записать систему уравнений (получаемых из закона Ома и закона сохранения заряда), связывающих между собой комплексные амплитуды напряжений u_n, u_n+1 и токов i_n, i_n–1 в цепочке из Г-образных звеньев согласно схеме на рисунке ниже, где Z — комплексный импеданс, Y — комплексная проводимость (величина, обратная импедансу) соответствующих элементов схемы.

   

3. Подставить в уравнения, полученные в пункте 2, решение вида гармонической бегущей волны, описываемое следующими выражениями для комплексных амплитуд напряжений и токов:

   u_n = A e ^{–i n θ},

   i_n = B e ^{–i n θ}.

   Получить систему алгебраических уравнений для амплитуд A и B.

   Как из комплексных амплитуд напряжений и токов получить зависимость их мгновенных физических (действительных) значений от времени? Получить зависимость от времени для мгновенных значений напряжений u_n(t) и токов i_n(t) в бегущей волне, имеющей заданную частоту ω, исходя из выражений для их комплексных амплитуд, записанных выше. Какой физический смысл имеет параметр решения θ?

4. Приравнивая к нулю определитель алгебраической системы, полученной в пункте 3, записать уравнение, связывающее между собой дискретное волновое число θ и комплексные параметры схемы Z и Y.

   Используя выражение для комплексного импеданса индуктивности Z=iωL и комплексной проводимости конденсатора Y=iωC, получить дисперсионное уравнение (связь между частотой ω и волновым числом θ в бегущей волне) для фильтра нижних частот (ФНЧ), сравнить с уравнением (6.1.2) в методичке. Построить дисперсионную характеристику (график ω от θ) для ФНЧ. Сравнить с Рис. 6.2 в методичке.

5. Что такое групповая скорость волны? Как её найти, имея дисперсионное уравнение? Какой смысл и какую размерность имеет групповая скорость в волновых системах с непрерывным пространством и с дискретным пространством (цепочки)? Как выражается время задержки импульса с плавной огибающей (радиоимпульса) на одном звене цепочечной волновой системы через групповую скорость бегущей волны? Получить выражение для времени задержки радиоимпульса на одном звене для ФНЧ, используя дисперсионное уравнение для ФНЧ, полученное при выполнении задания в пункте 4. Сравнить с уравнением (6.1.6) в методичке.

6. Считая, что решение имеед вид бегущей волны (как в пункте 3), указать, как связан сдвиг фазы сигнала между входом и выходом фильтра, состоящего из N штук Г-образных звеньев, с волновым числом бегущей волны θ. Как получить ФЧХ фильтра из дисперсионной характеристики, построенной в пункте 4? Куда направлены групповые скорости волн для двух ветвей дисперсионных характеристик, изображённых в методичке на каждом из рисунков 6.2, 6.6, 6.11? Какую ветвь дисперсионной характеристики на каждом из рисунков следует выбрать для построения ФЧХ соответствующего фильтра? Построить ожидаемые ФЧХ всех исследуемых фильтров, используя соответствующие дисперсионные характеристики на рисунках 6.2, 6.6, 6.11. Особое внимание обратить на касательные к графикам в их конечных точках, а также на координаты самих конечных точек (наибольшее и наименьшее возможное значение сдвига фазы согласно построенным ФЧХ).

7. Что представляет собой спектр прямоугольного импульса? И наоборот, что представляет собой сигнал, имеющий прямоугольный спектр? Что представляет собой сигнал на выходе узкополосного полосового фильтра, если спектр сигнала на его входе приблизительно постоянен в полосе пропускания фильтра?

8. Все выкладки, рассмотренные выше, были сделаны для бегущей волны. Бегущая волна получается автоматически, если цепочка полубесконечна (имеет вход, но вместо выхода продолжается на бесконечность, куда и распространяется волна без отражения). Реальный фильтр представляет собой ограниченную с обеих сторон цепочку, на выходе которой находится нагрузка (R на схеме ниже):

   

   Бегущая волна может быть получена в такой системе только в том случае, если волна не отражается от нагрузки. Такая нагрузка называется согласованной. Для этого необходимо, чтобы отношение напряжения к току на нагрузке (импеданс) совпадало с отношением напряжения и тока в аналогичных точках схемы в бегущей волне, тогда волна «не почувствует» границу цепочки (нагрузку). Иначе говоря, бегущая волна должна удовлетворять закону Ома на нагрузке. А именно, в обозначениях схемы выше, имеем

   u_n+1 = R i_n,

   где u_n+1 и i_n — комплексные амплитуды напряжения и тока в бегущей волне в соответствующих точках схемы, изображённой выше.

   Получите приближённое выражение для R согласованной нагрузки через параметры схемы Y и Z, ограничиваясь длинноволновым приближением (|θ|≪1). Для этого используйте выражения для комплексных амплитуд напряжений и токов в бегущей волне, указанные в задании 3, а также систему алгебраических уравнений для амплитуд A и B, полученную в ходе выполнения задания 3. Обоснуйте (в рамках предположения |θ|≪1) и используйте в выкладках приближённую замену

   (e^–iθ – 1) ≈ –iθ, (1 – e^iθ) ≈ –iθ.

   Найдите R согласованной нагрузки для ФНЧ (случай Z=iωL, Y=iωC).

9. Из рассуждения в пункте 8 следует, что точный (не приближённый) импеданс согласованной нагрузки равен импедансу полубесконечной цепочки. В самом деле, если нагрузка на конкретной частоте неотличима по своим электрическим характеристикам от полубесконечной цепочки, то и бегущая волна, которая в полубесконечной цепочке распространяется на бесконечность без отражения, аналогичным образом не будет отражаться и от нагрузки, имеющей такой же импеданс (нагрузка будет для волны неотличима от продолжения цепочки на бесконечность). Найдите импеданс полубесконечной цепочки Z_∞, используя то соображение, что полубесконечная цепочка никак не изменяется и не меняет своих свойств, если к её началу добавить ещё одно такое же звено (количество звеньев 1 + ∞ = ∞), как показано на схеме ниже для цепочки из Г-образных звеньев:

   

   Для этого выразите импеданс левой схемы через Z_∞, приравняйте к Z_∞ и решите полученное уравнение относительно Z_∞. Результатом будет выражение для импеданса полубесконечной цепочки, который, согласно рассуждению выше, совпадает с точным импедансом соласованной нагрузки на соответствующей частоте. Покажите, что выражение для Z_∞ переходит в выражение для R, найденное в пункте 8, если сделать допущение |YZ|≪1 (что эквивалентно допущению |θ|≪1, если учесть дисперсионное соотношение, найденное в пункте 4). Для этого используйте то соображение, что при сложении разных степеней одной и той же малой величины можно пренебречь слагаемым, имеющим бóльший показатель степени (в частности, (YZ)² можно пренебречь в сравнении с YZ, а YZ можно пренебречь в сравнении с (YZ)^1/2).

2. Вынужденная синхронизация автоколебаний

Подготовка к допуску

1. Освежаем в памяти материал по автоколебаниям (мягкий и жёсткий режимы возбуждения, бифуркация Андронова-Хопфа). Если необходимо — пересматриваем лекцию «Фазовая плоскость (квазигармонические автоколебания)» (см. выше).
2. Освежаем в памяти рождение предельного цикла в результате бифуркации петли сепаратрисы седло-узла (из лекционного курса Теория колебаний).

3. Изучаем методичку «Вынужденная синхронизация», которую можно скачать с сайта кафедры, раздел «Образование» (прямая ссылка для скачивания методички)

   Помимо материала, необходимого для выполнения работы, методичка содержит дополнительный материал, который можно пропустить:

   • Раздел 2: можно пропустить подразделы 2.3.2, 2.4
   • Раздел 3: можно пропустить подраздел 3.1.2
   • Раздел 5: можно пропустить целиком

   Основная задача при изучении методички — понять, откуда берутся и что означают рисунки 4, 7, 8.

4. Смотрим лекцию «Режимы сильного и слабого сигнала» по спецкурсу «Введение в теорию синхронизации» на этой же странице. В основном, лекция дублирует и разъясняет материал раздела 2.3.3 из методички, который является ключевым для выполнения работы. Обозначения в лекции и в методичке слегка различаются.

Вопросы к допуску (номера рисунков и формул — по методичке)

1. Как соотносятся друг с другом две формы представления фазового пространства системы укороченных уравнений (6):
   • представление 1 — цилиндр с координатами φ (вокруг цилиндра) и ρ (вдоль оси цилиндра), см. Рис. 2а–в в методичке, а также левые рисунки каждой из панелей а–е на Рис.6;
   • представление 2 — плоскость с полярными координатами ρ и φ (в традиционном смысле этих обозначений), см. лекцию «Режимы сильного и слабого сигнала» по спецкурсу «Введение в теорию синхронизации» на этой же странице, а также правые рисунки каждой из панелей а–е на Рис. 6 в методичке.
   Рассмотреть следующие типы траекторий в обоих представлениях:
   • состояние равновесия;
   • колебательный предельный цикл (с ограниченными колебаниями фазы φ);
   • вращательный предельный цикл (с неограниченным изменением фазы φ).
2. Как соотносятся различные фазовые траектории системы укороченных уравнений (6) с динамикой реальной системы (или полной модели (1) или (5))? В частности, каким движениям в реальной системе соответствуют следующие траектории системы укороченных уравнений:
   • состояние равновесия;
   • колебательный предельный цикл (с ограниченными колебаниями фазы φ);
   • вращательный предельный цикл (с неограниченным изменением фазы φ).
   Как определить по предельному циклу укороченной системы период (частоту) и глубину модуляции колебаний в реальной системе?
3. Смысл графиков на Рис. 4, 7а, 8а из методички: что отложено по осям, каким параметром различаются кривые, составляющие семейство? Требуется указать смысл всех этих величин с точки зрения фазовой плоскости системы укороченных уравнений (6) и с точки зрения реальной физической системы.
4. Какие графики строятся по результатам работы, какие реальные физические величины откладываются по осям? Как должны выглядеть полученные графики (для мягкого режима автоколебаний)? Как они соотносятся с графиками на Рис. 4, 7а, 8а? Как различить между собой графики, соответствующие режимам сильного и слабого сигнала, если семейство графиков, различающихся амплитудой внешнего сигнала, построены в одних осях (только по виду самих графиков, без информации о форме биений)?
5. Выход из режима синхронизации в режиме сильного сигнала: вид бифуркации в системе укороченных уравнений при выходе из полосы удержания синхронизации, форма возникающих биений, зависимость частоты (периода) и амплитуды биений (глубины модуляции) от величины расстройки.
6. Выход из режима синхронизации в режиме слабого сигнала: вид бифуркации в системе укороченных уравнений при выходе из полосы удержания синхронизации, форма возникающих биений, зависимость частоты (периода) и амплитуды биений (глубины модуляции) от величины расстройки.
7. В чём отличие синхронизации внешним сигналом для генератора в жёстком режиме возбуждения колебаний в сравнении с генератором в мягком режиме? Для ответа использовать Рис. 13. Какие фрагменты семейства кривых, изображённого на Рис. 13, будут построены в эксперименте? Как построить в эксперименте нижние и верхние фрагменты кривых 1–3 на Рис. 13?

3. Разрывные колебания

Подготовка к допуску

Изучаем методичку «Исследование динамики систем с разрывными колебаниями», которую можно скачать с сайта кафедры, раздел «Образование» (прямая ссылка для скачивания методички)

По разделу 1

1. Физический смысл динамических переменных x и y. С какими именно электрическими величинами (напряжения, токи) в конкретных точках схемы они связаны?
2. Физический смысл параметра μ. Малостью каких параметров схемы обеспечивается малость параметра μ?

По разделу 3

1. Форма траекторий быстрых движений. Как из уравнения (5) при μ → 0 выводится вид траекторий быстрых движений, показанных на Рис. 4 (прямые, параллельные оси абсцисс)?
2. Форма кривой (точнее, форма области) медленных движений. В какой области фазовой плоскости неприменимо рассуждение из предыдущего пункта (то есть форма траекторий отличается от прямых, параллельных оси абсцисс)?
3. Направление движения по траекториям быстрых движений. Как из 1-го уравнения системы (2) выводится направление стрелок на быстрых движениях (влево или вправо) в зависимости от знака правой части F(x,y), то есть выше и ниже кривой медленных движений?
4. Направление движения в области медленных движений (вдоль окрестности кривой медленных движений). Как из 2-го уравнения системы (2) выводится направление стрелок на медленных движениях (вверх или вниз) в зависимости от знака правой части G(x,y), то есть по разные стороны от графика y=x?
5. Если на фазовой плоскости построены изоклины F(x,y)=0 и G(x,y)=0 (в обозначениях системы (2)), как определить положение состояний равновесия на фазовой плоскости?
6. Следуя построенным фазовым траекториям (с учётом направления движения по ним) описать движение изображающей точки по фазовой плоскости мультивибратора, изображённой на Рис. 4.
7. Примечание. Динамический режим мультивибратора с жёстким возбуждением автоколебаний, фазовый портрет которого изображён на Рис. 6, в данной лабораторной работе не используется.

По разделу 4

1. Следуя той же логике, которая использована выше при построении траекторий быстрых и медленных движений и при определении направления движения по ним, объяснить аналогичное построение фазового портрета триггера на Рис. 7, в частности:
   1. направление движения по траекториям быстрых движений (влево или вправо) выше и ниже кривой медленных движений;
   2. направление движения вдоль кривой медленных движений (вверх или вниз) по разные стороны от графика y=x.
2. По Рис. 8 описать движение изображающей точки по фазовой плоскости при подаче на триггер внешнего импульса, приводящего к изменению формы кривой медленных движений. Кривая медленных движений в отсутствие внешнего сигнала показана сплошной линией, а при наличии сигнала — пунктирной линией. Учесть при этом, что при изменении кривой медленных движений сохраняются правила определения направления быстрых движений (влево или вправо) и медленных движений (вверх или вниз), а меняется лишь форма самой кривой медленных движений.
   1. Пусть в начальный момент система находится в состоянии равновесия (точка 2), и внешний сигнал отсутствует. В момент подачи внешнего сигнала, кривая медленных движений принимает форму, показанную пунктирной линией. Как двигается изображающая точка, если внешний сигнал не прекращается (кривая медленных движений сохраняет форму пунктирной линии)?
   2. Рассмотрим теперь ситуацию, когда внешний импульс имеет конечную длительность. Какова минимальная длительность внешнего импульса, достаточная для переключения триггера из состояния равновесия 2 в состояние равновесия 1? А именно, докуда должна успеть дойти изображающая точка из точки 2 по быстрому движению за время действия импульса, чтобы после окончания импульса прийти в состояние равновесия 1, а не вернуться обратно в 2?
   3. Какова максимальная длительность внешнего импульса, переключающего триггер из состояния равновесия 2 в состояние равновесия 1? А именно, где расположена критическая точка, после прохождения которой за время действия внешнего импульса изображающая точка вернётся обратно в состояние равновесия 2 после окончания импульса (то есть уже не произойдёт нормального переключения из 2 в 1)?
3. Будем теперь считать, что на триггер подаются запускающие импульсы «разумной» длительности (больше минимальной, но много меньше максимальной). Рассмотрим ситуацию, когда на триггер подаётся пара импульсов, разделённых некоторым интервалом времени. Необходимо выяснить, как зависит переключение триггера под действием пары импульсов от величины интервала времени между импульсами.
   1. Очевидно, если интервал между импульсами стремится к бесконечности, то произойдёт два переключения триггера, по одному на каждый запускающий импульс (сначала из 2 в 1, затем из 1 в 2).
   2. Описать движение изображающей точки, если величина интервала между двумя запускающими импульсами стремится к нулю. Показать, что при этом произойдёт однократное переключение триггера (из 2 в 1).
   3. Какова критическая величина интервала времени между двумя запускающими импульсами, отделяющая однократное переключение триггера под действием пары импульсов (когда они фактически действуют как один импульс) от нормального двукратного переключения (когда каждый из двух импульсов приводит к переключению). А именно, где расположена критическая точка, после прохождения которой второй импульс приведёт к возвращению системы в исходное состояние 2? Эта критическая величина интервала времени между двумя запускающими импульсами называется временем разрешения триггера.
4. Рассмотрим динамику триггера под действием периодической последовательности запускающих импульсов. В этом случае также можно определить время разрешения триггера аналогично тому, как это было сделано выше для пары импульсов. Величина времени разрешения для пары импульсов и для периодической последовательности слегка различается, однако смысл сохраняется: если интервал времени между последовательными импульсами (период следования импульсов) превышает время разрешения, то переключение триггера происходит под действием каждого импульса; когда период следования импульсов становится меньше времени разрешения триггера, происходит лишь по одному переключению триггера на каждые два последовательных импульса (режим деления частоты). При дальнейшем сокращении периода следования импульсов, происходит увеличение кратности деления частоты (одно переключение на три импульса, и т. д.). Задание: Изобразить на фазовой плоскости Рис. 8 движение изображающей точки под действием периодической последовательности запускающих импульсов, а также построить соответствующую осциллограмму x(t), для двух случаев:
   1. период следования импульсов превышает время разрешения триггера (а значит, происходит переключение триггера каждым импульсом);
   2. период следования импульсов становится меньше времени разрешения триггера (а значит, происходит по одному переключению триггера на каждые два запускающих импульса).

По разделу 5

1. Самостоятельно разобрать движение изображающей точки по фазовой плоскости и вид соответствующих осциллограмм x(t) для кипп-реле в отсутствие внешнего сигнала (по Рис. 10) и при его наличии (по Рис. 11).

Вопросы к допуску (нумерация пунктов — согласно плану выше)

1. По разделу 1: пункты 1 – 2. По разделу 3: пункты 1 – 2.
2. По разделу 3: пункты 3 – 6
3. По разделу 4: пункты 1 – 2a
4. По разделу 4: пункты 2b – 2c
5. По разделу 4: пункт 3
6. По разделу 4: пункт 4